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A conta de 1937 que nenhum matemático conseguiu provar
Divida por 2 se for par, triplique e some 1 se for ímpar: todo número testado cai no 1, e ninguém sabe provar por quê.
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Sobe, desce e sempre pousa no 1
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Uma conta de criança pode passar 89 anos sem resposta? Pode, e ela cabe em duas linhas. Se o número for par, divida por 2. Se for ímpar, multiplique por 3 e some 1. Repita com o resultado até cansar.
Pegue o 6. Ele é par e vira 3. O 3 é ímpar e vira 10. Depois vêm 5, 16, 8, 4, 2 e 1. Oito passos e a conta pousa no 1.
Do 1 ela não sai mais. O 1 é ímpar e vira 4, o 4 vira 2, o 2 volta ao 1. A sequência fica girando nesse laço de três números para sempre.
Agora pegue o ano corrente, 2026. A conta parece tranquila no começo: 1013, 3040, 1520. Logo depois dispara, sobe e desce como um elevador quebrado, encosta em 9232 e só alcança o 1 depois de 112 passos.
Nenhuma regra visível diz quantos passos cada número vai gastar. O 7 leva 16. O 8 leva 3, porque é potência de 2 e só desce. O 9, vizinho dele, leva 19 e sobe até 52 antes de cair.
Mesmo assim, todo número que alguém já testou termina no mesmo laço 4, 2, 1. Em 2020, o pesquisador David Barina, da Universidade de Tecnologia de Brno, na República Tcheca, concluiu a conferência de todos os inteiros até 2,95 vezes 10 elevado a 20. São 295 quintilhões de números, e nenhum escapou.
Conferir não basta. Um número gigante, além de qualquer computador, ainda pode subir para sempre ou cair num laço diferente. Enquanto ninguém provar que nada disso acontece, a regra continua com o nome de conjectura (afirmação que todos acreditam ser verdadeira, mas que ninguém demonstrou).
A conta tem dono e tem data. Quem a escreveu foi um estudante alemão de matemática, num caderno de anotações, em 1937. Ele nunca a publicou como artigo, e mesmo assim a regra correu o mundo com uns cinco nomes diferentes.
Quem era esse estudante, por que a conta ganhou tantos apelidos e o que os maiores matemáticos do século disseram dela, você descobre logo abaixo.
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I A resposta de ontem
O caderno de Lothar Collatz
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Lothar Collatz anotou a regra em julho de 1937, aos 26 anos, num caderno de pesquisa. Ele tinha nascido em 6 de julho de 1910, em Arnsberg, na Alemanha, e tinha concluído o doutorado na Universidade de Berlim dois anos antes.
O interesse dele vinha da teoria dos grafos (o ramo que estuda pontos ligados por setas). Collatz imaginava cada número como um ponto e cada passo da conta como uma seta. A pergunta era se todas as setas, seguidas até o fim, levariam ao mesmo ponto.
Ele não conseguiu responder e não publicou nada. Durante anos, a conta viajou de boca em boca, contada em corredores de universidade e em conferências, sempre como desafio de quem passa um problema adiante.
Daí vieram tantos nomes. Helmut Hasse a levou para a Universidade de Syracuse, nos Estados Unidos, e ali ela virou problema de Syracuse. Shizuo Kakutani a espalhou em Yale e Chicago, e ela virou problema de Kakutani. Stanislaw Ulam fez o mesmo em Los Alamos, e o nome dele também grudou.
Kakutani contou depois que, nos anos 1950, a conta tomou conta da Universidade de Yale por um mês inteiro. Professores e alunos largaram o trabalho para tentar resolver, sem sucesso. Correu até a piada de que o problema era uma arma para atrasar a matemática americana.
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Uma regra que qualquer aluno de 10 anos entende parou os melhores matemáticos de Yale por um mês e não chegou a lugar nenhum.
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O preço da prova
Paul Erdős, o matemático húngaro que publicou mais de 1.500 artigos, ofereceu 500 dólares a quem provasse a conjectura. Ele costumava dizer que a matemática ainda não estava pronta para problemas como esse.
O avanço mais forte veio em 2019. Terence Tao, da Universidade da Califórnia em Los Angeles, provou que quase todos os números iniciais descem até valores muito pequenos. Quase todos, no sentido técnico da palavra, ainda deixa espaço para exceções raras.
Collatz seguiu carreira longe do problema. Virou professor em Hamburgo, ficou conhecido pelos métodos numéricos (técnicas para resolver equações com contas aproximadas no computador) e viveu até 1990. A conta que ele largou no caderno ficou sem dono da resposta.
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II O Enigma do dia
Qual número abaixo de 30 caminha mais
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Entre os números de 1 a 30, qual leva mais passos até chegar ao 1, e quantos passos são? Pergunta extra: quais são os únicos números que chegam ao 1 em exatamente 5 passos?
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A força bruta (testar caso por caso, sem atalho) resolve o enigma em uma tarde de papel e lápis. O desafio aqui é cortar caminho e testar só os números que valem a pena.
A primeira pista é descartar os pares. Um número par perde metade do tamanho no primeiro passo e cai num número menor, que você já testou. O 28 vira 14, e o caminho do 28 é o do 14 com um passo a mais.
A segunda pista é desconfiar das potências de 2. O 16 desce 8, 4, 2, 1 e acaba em quatro passos. Todo número que encosta numa potência de 2 entra numa descida direta, e o número campeão precisa evitar essas portas de saída.
A terceira pista é guardar o que já foi calculado. Quando o caminho de um número cruza com o caminho de outro, o resto da trilha é igual. O 7 passa pelo 22, pelo 11 e pelo 34, e quem testar o 11 depois do 7 já sabe a resposta.
Para a pergunta extra, a pista é andar ao contrário. Saindo do 1, o passo anterior só pode ser o 2. Antes do 2, só o 4. Cada número tem um antecessor par, o dobro dele, e às vezes um antecessor ímpar, quando subtrair 1 e dividir por 3 dá um inteiro ímpar.
Onde a conta tropeça
A primeira armadilha é contar errado. O passo é cada operação, e o número de partida não conta. O 6 gasta oito passos, mas a lista dele tem nove números.
A segunda é aceitar o ímpar falso na volta. Do 4, a conta ao contrário daria o 1, porque 3 vezes 1 mais 1 dá 4. O 1, porém, já é o fim da linha e não serve como novo ponto de partida.
A terceira é largar o número no meio da subida. Os ímpares sobem antes de cair, às vezes muito alto. Quem para a conta ao ver o número crescer acha que ele nunca volta e conclui errado.
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O caminho de cada número depende só do próximo passo, então a trilha de um número inteiro fica pronta quando ela encosta numa trilha conhecida.
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Responda por escrito: o número campeão abaixo de 30, a quantidade de passos dele e os dois números que chegam ao 1 em exatamente 5 passos.
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