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I  A resposta de ontem

A formiga, a migalha e o caixote de 150 centímetros

Um caixote fechado tem 150 centímetros de comprimento e seção quadrada de 60 por 60. Uma formiga está no meio de uma das tampas de ponta, a 5 centímetros da face de cima. Uma migalha está no meio da tampa oposta, a 5 centímetros do fundo. Qual a menor distância que a formiga percorre andando pela madeira.

A rota intuitiva sobe, atravessa e desce. São 5 centímetros para chegar à face de cima, 150 centímetros de tampa superior e 55 centímetros para descer até a migalha. Total de 210 centímetros, e o desenho parece fechado.

Antes de aceitar, abra o caixote. Recorte mentalmente as arestas e deite as faces numa folha, como quem desmonta uma caixa de sapato. O que era percurso quebrado em três pedaços vira um segmento só, e o comprimento passa a ser calculável por Pitágoras.

Uma abertura em especial derruba os 210. Ela usa cinco faces em fila: a tampa da formiga, a face de cima, uma lateral, o fundo e a tampa da migalha. Na folha aberta, o deslocamento no sentido do comprimento soma 5 mais 150 mais 5, ou seja, 160 centímetros. O deslocamento transversal soma 30 da meia largura da primeira tampa, mais 60 da lateral, mais 30 da meia largura da última tampa, ou seja, 120 centímetros.

Com os catetos de 160 e 120, a hipotenusa dá 200 centímetros exatos. A formiga anda 200 em vez de 210, e economiza 10 centímetros passando por cinco faces em vez de três. O caminho parece mais longo no desenho em perspectiva e é mais curto na madeira.

Onde a conta escorrega

O primeiro tropeço é planificar uma vez só. A caixa aceita várias aberturas, e cada uma coloca os dois pontos em posições diferentes na folha. Abrir pelo teto dá um número, abrir pela lateral dá outro, abrir por cinco faces dá um terceiro. Quem para na primeira reta encontrada entrega a segunda melhor resposta.

O segundo tropeço é somar o percurso pelas quinas sem perceber que a quina não obriga a nada. Aresta não é parada obrigatória: a formiga cruza a quina em qualquer ponto dela, e é justamente a liberdade de escolher onde cruzar que a planificação transforma em reta.

Guarde o formato dessa abertura, porque agora ela vale numa sala de 30 pés, com teto e chão entrando na mesma tira, e a diferença entre o óbvio e o curto muda de escala.

II  O Enigma do dia

Trinta pés de sala e uma distância a provar

As regras valem reler. As três medidas da sala são fixas. A aranha e a mosca estão centradas na largura das respectivas paredes de ponta. A mosca não se move. Nenhum ponto de partida ou chegada está numa quina, e a resposta é um número em pés, com a rota descrita face a face.

Onde quase todo mundo trava

O primeiro erro é resolver em perspectiva. O desenho da sala em três dimensões faz o teto parecer o caminho natural e faz qualquer rota que encoste na lateral parecer desvio. Recorte a sala em faces, deite as faces numa folha, e só então meça.

O segundo erro é testar uma planificação e parar. A mesma sala se abre de vários jeitos, e cada abertura entrega uma reta própria. Duas aberturas plausíveis podem diferir em dois pés, o que é diferença suficiente para trocar o vencedor. Liste as aberturas antes de calcular qualquer hipotenusa.

O terceiro erro é esquecer as meias larguras. Quando a rota atravessa a parede de ponta na diagonal, o que entra na conta transversal não é a largura inteira da sala, é a metade dela até a quina, dos dois lados, com a face intermediária no meio. Quem soma largura cheia infla o cateto e descarta a rota certa.

Responda as três com prova. Mostre a conta do trajeto óbvio, apresente os dois catetos da rota vencedora e nomeie as faces que ela cruza, em ordem. Depois teste o que muda se a mosca estiver a um pé do teto, na mesma parede oposta.

III  Sequência

Desdobre a sala em quatro passos

O material é uma folha, uma fita métrica, um lápis e cinco minutos. O procedimento abaixo produz a menor distância na primeira tentativa, sem tentativa e erro, e vale para qualquer caixa retangular com dois pontos na superfície.

1. Meça o trajeto óbvio e anote como teto de comparação. Um pé para a aranha subir até o teto, 30 pés de teto e 11 pés para descer a parede da mosca. São 42 pés. Todo resultado maior que 42 sai da lista sem discussão.

2. Liste as aberturas antes de calcular. A sala tem seis faces, e a aranha pode alcançar a mosca por caminhos que cruzam três, quatro ou cinco delas. Escreva as sequências de faces plausíveis num canto da folha: teto direto, lateral direta, teto mais lateral, e a fila comprida que usa teto, lateral e chão.

3. Calcule a hipotenusa de cada abertura. Na fila comprida, o cateto no sentido do comprimento soma 1 pé da subida da aranha, 30 da sala e 1 pé da descida da mosca, ou seja, 32 pés. O cateto transversal soma 6 pés de meia largura, 12 pés da parede lateral e 6 pés de meia largura, ou seja, 24 pés. Trinta e dois ao quadrado é 1024, vinte e quatro ao quadrado é 576, e a soma dá 1600.

4. Tire a raiz e compare com o teto. A raiz de 1600 é 40 exatos. A aranha percorre 40 pés cruzando cinco faces, contra 42 pés cruzando três. Dois pés de economia, num percurso que o olho jura ser mais comprido, e a prova cabe num barbante esticado sobre uma caixa de papelão nas mesmas proporções.

Dudeney levou o problema do Daily Mail de 1903 para dentro do livro quatro anos depois, e registrou ali que a maioria das respostas enviadas parava nos 42 pés. A sala de 30 por 12 por 12 reaparece em livro de geometria escolar até hoje, com formiga, cubo ou lata no lugar da aranha.

A Sequência é o placar de quem fecha sozinho. Um ponto por enigma resolvido antes de a solução chegar, e o placar zera no dia em que você espia fora da hora. Placar sem plateia ninguém falsifica.

A planificação aparece longe das aranhas. Cabo passado por dentro de um armário, fita adesiva contornando uma embalagem, tubulação que dá a volta numa viga e traçado de esteira num galpão são o mesmo problema de superfície. Quem abre a forma numa folha antes de medir compra menos material do que quem mede na perspectiva.

A aranha de Dudeney não anda em linha reta pela sala. Ela anda em linha reta pela sala aberta numa folha, e a mesma reta, dobrada de volta nas quinas, vira o contorno esquisito de cinco faces que ninguém desenha de primeira.

"Quantas vezes você mediu um caminho pelo desenho, e não pela superfície que ia percorrer?"

Teste hoje, em cinco minutos: pegue uma caixa de sapato, marque um ponto perto de uma quina de cima e outro ponto perto da quina oposta lá embaixo, e estique um barbante entre eles por cima da tampa. Anote o comprimento. Agora reabra o barbante passando por tampa, lateral e fundo, na diagonal, e compare os dois números. A segunda medida sai menor, e é essa diferença que a aranha usa.

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No enigma de Dudeney, quantos pés a aranha percorre no trajeto óbvio: subir a parede, atravessar o teto inteiro e descer até a mosca?

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