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ED 077

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A agulha de Buffon acha o pi no assoalho

Uma agulha sobre tábuas paralelas cruza a fresta em 63,7% das quedas, e um italiano tirou dali o pi com seis casas certas em 1901.

Agulhas de costura espalhadas sobre um assoalho de tábuas paralelas.

Agulhas sobre tábuas paralelas

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Uma agulha jogada no assoalho consegue calcular o pi? Consegue, desde 1777, e sem nenhum círculo à vista: basta contar quantas vezes ela cai atravessando a fresta entre duas tábuas.

A conta pede um assoalho de tábuas paralelas, todas da mesma largura, e uma agulha do comprimento exato dessa largura. Você solta a agulha de qualquer jeito, sem mirar, e anota se ela tocou uma das frestas ou ficou inteira dentro de uma tábua.

Repita centenas de vezes. A fração de quedas sobre a fresta encosta, devagar, em 2 dividido por pi: cerca de 63,7 em cada 100 lançamentos.

O círculo está escondido no giro da agulha. Ela pode cair em qualquer ângulo, e a chance de atravessar a linha depende do seno desse ângulo. Somada a chance de todos os ângulos possíveis, o pi aparece no denominador, trazido pela volta completa que a agulha poderia dar.

Daí sai o truque ao contrário. Se a fração de cruzamentos se aproxima de 2 sobre pi, basta dividir o dobro dos lançamentos pelo número de cruzamentos para ter uma estimativa do pi feita com as mãos.

A estimativa melhora devagar. Com 100 lançamentos, o resultado costuma cair entre 2,9 e 3,4. Para ganhar uma casa decimal confiável, é preciso multiplicar os lançamentos por cerca de cem.

Por isso um relato de 1901 chama atenção até hoje. O matemático italiano Mario Lazzarini contou 3.408 lançamentos e chegou a 355/113, ou 3,1415929, com seis casas decimais certas. Pela matemática do próprio experimento, seriam precisos trilhões de quedas para esperar esse acerto por mérito do método.

Abaixo, a origem do problema, nascido de um jogo de apostas com moedas e ladrilhos; depois, o enigma com os números de Lazzarini para você resolver; e por fim a solução, com o motivo de tanta gente desconfiar daquela sorte.

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I A resposta de ontem

O conde e o ladrilho limpo

A resposta de ontem

Onde reapareceram, em 1968, quatro livros de Diofanto?

Na biblioteca do santuário do Imã Reza, em Mashhad, no Irã. O manuscrito traz uma tradução árabe do século 9 atribuída a Qusta ibn Luqa, identificada pelo historiador Fuat Sezgin. Jacques Sesiano publicou o texto em 1982 e Roshdi Rashed em 1984, e a Aritmética passou de seis para dez livros conhecidos.

Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, era naturalista, não matemático de ofício. Nascido em 1707 na Borgonha, dirigiu o Jardim do Rei, em Paris, e passou décadas escrevendo a Histoire naturelle (História natural), uma enciclopédia dos animais, das plantas e da Terra em 36 volumes.

O problema da agulha nasceu de um passatempo de taverna. No franc-carreau (“ladrilho limpo”, em francês), os apostadores jogavam uma moeda num piso de ladrilhos quadrados e apostavam se ela pararia inteira dentro de um ladrilho ou em cima de uma junta.

Em 1733, Buffon levou a pergunta à Academia Real de Ciências de Paris: qual é a chance de a moeda cair limpa? Para responder, ele trocou a contagem de casos pela medida de áreas, e a probabilidade virou uma questão de geometria.

A agulha veio como segunda versão do jogo. Em vez de uma moeda redonda, que se comporta igual em qualquer posição, um objeto comprido, capaz de cair em qualquer ângulo. A resposta exigia cálculo integral (a soma de infinitas parcelas pequenas), ferramenta rara em problemas de azar naquela época.

O texto completo só saiu impresso em 1777, no Ensaio de aritmética moral, publicado num suplemento da História natural. Buffon tinha 70 anos. Ali está a resposta: com agulha e frestas de mesma medida, a agulha cruza uma linha com chance de 2 sobre pi.

Do jogo ao laboratório

Buffon queria entender a aposta, não medir o pi. Quem enxergou a agulha como instrumento foi Pierre-Simon Laplace, em 1812, na Teoria analítica das probabilidades: se a chance depende do pi, contar cruzamentos permite estimar o pi pelo acaso.

A sugestão atravessou o século 19 como desafio de paciência. Em 1850, o astrônomo suíço Rudolf Wolf, em Zurique, fez 5.000 lançamentos e chegou a 3,1596, errando já na segunda casa decimal.

Buffon montou a pergunta para entender uma aposta; Laplace transformou a resposta num instrumento de medida.

A troca de uma conta difícil por sorteios repetidos ganhou batismo no século 20. Nos anos 1940, Stanislaw Ulam e John von Neumann, em Los Alamos, chamaram a técnica de método de Monte Carlo, em homenagem ao cassino de Mônaco, e a agulha de Buffon costuma abrir os manuais sobre ela.

Hoje um computador simula milhões de agulhas em segundos. A precisão continua lenta do mesmo jeito: cada casa decimal nova custa cerca de cem vezes mais lançamentos, no papel ou na máquina.

II O Enigma do dia

A agulha menor do vão

Uma agulha de 2,5 centímetros cai 3.408 vezes sobre linhas paralelas separadas por 3 centímetros. Com agulha menor do vão, a chance de cruzar uma linha é 2 vezes o comprimento da agulha dividido por pi vezes o vão. Quantos cruzamentos se espera? E quantos cruzamentos exatos dão a estimativa 355/113 para o pi?

O enunciado repete o arranjo relatado por Mario Lazzarini em 1901. A agulha é menor do vão entre as linhas, e por esse detalhe a fórmula ganha a razão entre os dois comprimentos.

A fórmula vale para agulha igual ou menor do vão. Se a agulha passar da largura, pode cruzar duas linhas de uma vez, e a conta muda de figura.

Para começar, separe os dados:

• Agulha: 2,5 centímetros.

• Vão entre linhas: 3 centímetros.

• Lançamentos: 3.408.

• Chance de cruzar: 2 × agulha ÷ (pi × vão).

• Alvo: 355/113, ou 3,1415929.

A primeira pista: simplifique a razão entre agulha e vão. 2,5 sobre 3 vira uma fração pequena, com 5 e 6.

A segunda pista: para estimar o pi, isole o pi na fórmula e troque a chance pela fração observada, cruzamentos sobre lançamentos.

A terceira pista: monte a estimativa como uma única fração, com 3.408 em cima e os cruzamentos embaixo, e simplifique.

A quarta pista: 355 é 5 vezes 71, e 3.408 é 48 vezes 71.

Onde a conta escorrega

O primeiro escorregão é usar a fórmula da agulha igual ao vão. Sem a razão 5/6, a estimativa sai inflada em um quinto.

O segundo é parar na metade. Quem divide os cruzamentos pelos lançamentos fica com 0,53, um número sem nada de circular; falta ainda isolar o pi.

O terceiro é arredondar cedo. Trabalhando com 3,14 no meio da conta, a fração exata some e a pergunta sobre 355/113 fica sem resposta.

O quarto é esquecer de testar os vizinhos. Depois de achar o número exato de cruzamentos, vale calcular a estimativa com um a menos e um a mais, e comparar.

Com essa agulha e esse vão, cada cruzamento a mais ou a menos move a estimativa na terceira casa decimal.

Responda por escrito: o número esperado de cruzamentos, o número exato para 355/113 e as estimativas com um cruzamento a menos e um a mais.

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III Sequência

A sorte de 1.808 cruzamentos

Lazzarini precisava de 1.808 cruzamentos, e foi esse o número relatado por ele. A solução anda em quatro passos:

1. A razão entre agulha e vão é 2,5/3 = 5/6, e a chance de cruzar fica 2 × 5/6 ÷ pi = 5/(3 × pi), cerca de 0,5305.

2. Cruzamentos esperados: 3.408 × 0,5305 ≈ 1.808.

3. Isolando o pi: pi ≈ 5 × 3.408 ÷ (3 × cruzamentos) = 5.680 ÷ cruzamentos.

4. Para 5.680 ÷ C dar 355/113, C = 5.680 × 113 ÷ 355 = 16 × 113 = 1.808.

Os vizinhos medem a sorte. Com 1.807 cruzamentos, a estimativa seria 3,1433. Com 1.809, cairia para 3,1399. Um cruzamento para cada lado e o acerto desaba da sexta casa decimal para a primeira ou a segunda.

Nem o resultado mais provável estava garantido. Com 3.408 lançamentos, a contagem de cruzamentos oscila naturalmente cerca de 29 para cima ou para baixo, e acertar exatamente 1.808 tem chance perto de 1,4%.

A desconfiança de Badger

Em 1994, o matemático Lee Badger publicou na revista Mathematics Magazine o artigo “Lazzarini's Lucky Approximation of π” (a aproximação sortuda de Lazzarini). Ele mostrou que 3.408 e a razão 5/6 parecem escolhidos para mirar 355/113 desde o começo.

O caminho apontado por Badger é simples: lançar a agulha em séries e parar no momento em que a contagem bate a fração conhecida. 3.408 são 213 séries de 16 lançamentos, e 355/113 já aparecia no trabalho do matemático chinês Zu Chongzhi, no século 5.

Não se sabe se Lazzarini parou de propósito, ajeitou a contagem ou só teve sorte. Os registros completos dos lançamentos nunca foram publicados, e sem eles a dúvida não tem como ser resolvida.

Laplace, o homem que transformou a agulha em instrumento, deixou a frase que serve de aviso: “A teoria das probabilidades é, no fundo, apenas o bom senso reduzido ao cálculo” (Pierre-Simon Laplace, Ensaio filosófico sobre as probabilidades, 1814).

Uma agulha honesta chega ao pi devagar; um acerto rápido demais pede auditoria.

“Quantos cruzamentos Lazzarini precisava contar para chegar a 355/113?”

Exatamente 1.808 em 3.408 lançamentos, nem um a mais, nem um a menos.

Teste hoje: trace linhas paralelas numa folha, com o espaço igual ao comprimento de um palito de fósforo, e jogue o palito 100 vezes de uma altura de um palmo. Conte os cruzamentos e divida 200 por esse número. Se o resultado ficar entre 2,9 e 3,4, o acaso está honesto; se der 3,14 cravado, desconfie da própria contagem, como Badger desconfiou de Lazzarini.